Trójkąt pitagorejski

Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi.
Przykłady trójkątów pitagorejskich: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25).

    

Trójkąt Egipski

Trójkąt o bokach 3, 4, 5 to jedyny trójkąt prostokątny, którego długości boków są kolejnymi liczbami naturalnymi. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie.

Wieża Hanoi - anegdota

W wielkiej świątyni Benares w Hanoi, pod kopułą, która zaznacza środek świata, znajduje się płytka z brązu, na której umocowane są trzy diamentowe igły, wysokie na łokieć i cienkie jak talia osy. Na jednej z tych igieł, w momencie stworzenia świata, Bóg umieścił 64 krążki ze szczerego złota. Największy z nich leży na płytce z brązu, a pozostałe jeden na drugim, idąc malejąco od największego do najmniejszego. Bez przerwy we dnie i w nocy kapłani przekładają krążki z jednej diamentowej igły na drugą, przestrzegając niewzruszonych praw Brahma. Prawa te chcą, aby kapłan na służbie brał tylko jeden krążek na raz i aby umieszczał go na jednej z igieł w ten sposób, by nigdy nie znalazł się pod nim krążek mniejszy. Wówczas, gdy 64 krążki zostaną przełożone z igły, na której umieścił je Bóg w momencie stworzenia świata, na jedną z dwóch pozostałych igieł, wieża, świątynia, bramini rozsypią się w proch i w jednym oka mgnieniu nastąpi koniec świata.
Oczywiście, nie musimy przejmować się przepowiednią zawartą w tej legendzie, ponieważ, czas potrzebny na przełożenie 64 krążków jest bardzo długi, dla 64 krążków ilość ruchów wynosi 2⁶⁴-1 i jest to olbrzymia, 19-cyfrowa liczba. Jeśli przyjąć, że każdy ruch trwa 1 sekundę to przełożenie 64 krążków będzie trwać setki miliardów lat.
Zagraj w Wieżę Hanoi

Kwadrat magiczny

Magiczne kwadraty to liczby tak ułożone, że suma każdej kolumny i rzędu jest równa tej samej liczbie. Magiczne kwadraty mogą składać się z czterech lub więcej pól. Najpopularniejsze mają zazwyczaj 9 lub 16 pól. Magiczne kwadraty należą do najstarszych znanych łamigłówek. W XV wieku zainteresowanie tymi łamigłówkami rozpowszechniło się z Chin do Europy.
Kwadrat magiczny z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach wierszach i obu przekątnych jest taka sama. Taka suma jest nazywana sumą magiczną. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Tak zwany "Idealny Kwadrat" stworzył ok. 2800 roku p.n.e. chiński filozof i budowniczy Lo Shu, tworząc tym samym podwaliny sztuki Feng Shui. Jego kwadrat składa się z dziewięciu pól z wpisanymi liczbami od 1 do 9.
Żydowscy badacze pisma także stworzyli na swój użytek magiczny kwadrat. W odróżnieniu od chińskiego, zbudowany był wyłącznie z nieparzystych liczb, a ich literowe odpowiedniki miały składać się na imię Boga. Te litery, wypisane w formie magicznego kwadratu na pergaminie, miały moc uzdrawiania, a nawet powoływania do życia martwych.
W IX wieku naszej ery, tajemnicę Magicznego Kwadratu poznali Arabowie, a do Europy wiedza o nim dotarła, za sprawą mieszkającego w Konstantynopolu Greka - Moscopulosa - dopiero w XIV wieku. Sto lat póĽniej w swoich obliczeniach i badaniach wykorzystywał go jeden z najsłynniejszych ówczesnych magów - Korneliusz Agryppa (1486 1535).
W Europie Magiczny Kwadrat, symbolizujący porządek świata, stał się poszukiwanym talizmanem. Ale nie tylko interesowali się nim alchemicy. W czasach nowożytnych, ten fenomenalny układ zaintrygował matematyków. Twórcami i teoretykami rozpraw na jego temat byli tak wielcy naukowcy jak: Frenicle de Bessy, który opisał aż 880 magicznych kwadratów zbudowanych z 16 pól, Pierre Fermat i wielu innych.
Na czym polega magia Magicznych Kwadratów? Jest to matematyczny szyfr, a kontemplacja "doskonałego" układu liczb wzmacnia koncentrację, pozwala szybciej uszeregować myśli oraz pomaga w szybkim kojarzeniu różnych faktów.

Abakus

Ludzie na pewnym etapie swojego rozwoju doszli do momentu, gdy nie wystarczały im do liczenia ręce i zaczęli pomagać sobie przyrządami. Pierwszym takim przyrządem był stosowany przez Greków abacus (abak). Nazwa pochodzi od greckiego abax, co oznacza płytę, prawdopodobnie dlatego, że niegdyś kamyki umieszczano w wyrytych żłobkach płytki albo w ziemi. Poszczególne kolumny oznaczały jedności, dziesiątki, setki itd. Przy pomocy abakusa potrafiono dodawać, odejmować i mnożyć.
Abacus miał wiele zróżnicowanych form. Najczęściej były to prostokątne deski z wyżłobionymi rowkami, w których ułożone kamyki oznaczają poszczególne pozycje przedstawianej cyfry. Dodając i odejmując kamienie w rzędach wykonywało się operacje arytmetyczne. Rzymskie kamyczki nazywały się calculi. W miarę upływu czasu w kamieniach zaczęto robić otworki i nawlekać je na sznurki. W ten sposób powstawały przenośne urządzenia umożliwiające obliczenia.
Abakus ułatwiał niewątpliwie liczenie, używany był w Rzymie i Grecji przed Chrystusem. W Europie przyrządy wspomagające obliczenia - liczydła - na szerszą skalę pojawiły się w XIV w. i były w powszechnym użyciu przez wiele wieków. Liczydło w dzisiejszych czasach używane jest czasami w szkołach, gdzie za jego pomocą demonstruje się system numeryczny oraz proste operacje arytmetyczne.
Abakus miał niewątpliwie wadę - niejednoznaczność zapisu. Liczbę 10 można było przedstawić jako 10 koralików na osi jedności albo 1 koralik na osi dziesiątek. Abakus zapewne przyczynił się do wynalezienia cyfr arabskich i systemu dziesiątkowego. Z chwilą wprowadzenia cyfr arabskich, popularność liczydeł zaczęła spadać. Maszyny liczące, kalkulatory i w końcu komputery wyparły liczydła z powszechnego użycia.
Poniżej imitacja przyrządu wspomagającego obliczenia w dawnych czasach pomniejszona o jeden koralik w każdej kolumnie. Abakus ten składa się z kolumn koralików, które odpowiadają pewnym potęgom dziesięciu: jedności, dziesiątkom, setkom itd.
źródło http://www.math.edu.pl/a-to-ciekawe

Historia liczb

30 000 p.n.e.	Obecność nacięć numerycznych
3300 p.n.e	Pierwsze cyfry w Sumerze i Elamie. Pojawienie hieroglifów egipskich - pierwsza numeracja pisma
2700 p.n.e	Sumeryjskie cyfry klinowe
2600 p.n.e	Pojawienie się cyfr egipskich
2000 p.n.e	Pojawienie się bazy dziesiętnej
1800 p.n.e	Numeracja babilońska - pierwsza numeracja pozycyjna
1300 p.n.e	Pojawienie się cyfr chińskich
VI w. p.n.e	Odkrycie wartości niewymiernych. Pitagoras
III w. p.n.e	Grecka numeracja alfabetyczna Pojawienie się zera w numeracji babilońskiej
II w. p.n.e	Chińska numeracja pozycyjna bez zera Pojawienie się cyfr brahmi - indyjskich
IV w. n.e	Indyjska numeracja pozycyjna. Numeracja dziesiętna z zerem.
V w. n.e	Numeracja pozycyjna Majów z zerem
VIII w. n.e	Wprowadzenie indyjskiej dziesiętnej numeracji pozycyjnej i zera na ziemiach islamu.
XII w.	Wprowadzenie znaku zero na Zachodzie
XIII w.	Pojawia się pojęcie ciągu. Fibonacci
XV w.	Cyfry indyjsko-arabskie uzyskują formę graficzną i rozpowszechniają się na Zachodzie
XVI w.	Początki używania ułamków okresowych. Bombelli. Bombelli i Cardan formuują pojęcie liczb zespolonych
1638 r.	Sformuowanie pojęcia zbioru nieskończonego. Galileusz
1797 r.	Gauss przedstawia liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie
1820 r.	Zostaje sformułowana moc zbioru. Bolzano
1825 r.	Odkrycie liczb algebraicznych. Abel
1843 r.	Odkrycie kwaternionów. Hamilton
1844 r	Odkrycie liczb przestępnych. Liouville